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\thispagestyle{empty} \NeedsTeXFormat{LaTeX2e}[1995/12/01]

\begin{document}

\begin{center}
\textsc{Universidad de los Andes \hfill Departamento de
Matemáticas}\newline {\bf Seminario de Geometría
 \\
Problemas
--- (16/12/2004) }
\end{center}

\section*{Introducción}
Las acciones de grupos sobre $\mathbb{C}^n$ con ciertas propiedades dadas adicionales proporcionan excelentes variedades complejas, en las cuales, de manera muy especial se encuantran las variedades tóricas (variedades con acción de un toro sobre ellas) y como caso particular los espacios proyectivos complejos. Estas variedades se han venido estudiando recientemente usando herramientas de Geometría Algebraica.

Estamos intereados en estudiar las propiedades de tipo geométrico de estas variedades tóricas usando herramientas del Análisis Matemático sobre variedades, más específicamente usando el laplaciano (operador elíptico) para funciones y formas de clase $C^\infty$.

Partiremos con los planos proyectivos complejos de los cuales se conoce con cierta naturalidad:
\begin{enumerate}
\item%
La fibración de $S^1$ (acción de $S^1$) sobre $S^{2n+1}$ inmersa sobre $\mathbb{C}^{n+1}$ para obtener $\mathbb{CP}^n$
\item%
La métrica riemanniana de $\mathbb{CP}^n$.
\item%
Las autofunciones (para el laplaciano) sobre $\mathbb{CP}^n$, esto es aquellas autofunciones del laplaciano sobre $S^{2n+1}$ que son invariantes bajo el grupo de los números complejos módulo 1 operndo multiplicativamente sobre $\mathbb{C}^{n+1}$ (acción de $S^1$).
\item%
El espectro ($\mathbb{CP}^n$, $g_0$) donde $g_0$ es la métrica riemanniana estándar para $\mathbb{CP}^n$ con sus respectivas multiplicidades.
\end{enumerate}
Cuando se estudia el operador del calor sobre variedades riemannianas ($M, g$), esto es $L=\Delta + \frac{\partial}{\partial t}$, donde $\Delta$ es el laplaciano, nos encontramos con la necesidad de estudiar la solución fundamental del calor en variedades riemannianas y se sabe que:
\begin{enumerate}
\item%
Si $K(x,y,t)$ es la solución fundamental de la ecuación del calor (SFEC) asociada a $(M, g)$ (variedad riemamnniana compacta y conexa) entonces:
\[
\int_M K(x,y,t) = Z(t)
\]
donde $\displaystyle{Z(t)=\sum\limits_{i=0}\limits^{\infty}m_i e^{\lambda_i t}}$ (función de transición), $\lambda_i \in Spec (M, g)$, $m_i$ su multiplicidad, y $\lambda_0=0$.
\item%
$Z(t)$ tiene un desarrollo asintótico 
\[
Z(t)\stackrel{t\rightarrow 0^+}{\longrightarrow} (4\pi t)^{-n/2}(a_0+a_1 t + a_2 t^2+ \cdots +a_kt^k + \cdots )
\]
donde $\displaystyle{a_k=\int_M u_k(x,x) V_g (x)}$, y $u_k \in C^{\infty}(M\times M)$ son invariantes riemannianos y se encuentran en el estudio de la existencia y unicidad de la SFEC.
\item%
Existe una larga lista de resultados sobre los aportes geométricos que esta solución asintótica proporciona, por ejemplo:
\begin{enumerate}
\item%
$a_0= Vol(M, g)$
\item%
$a_1=\frac{1}{6}\int_M \tau_g \cdot V_g$, el cual proporciona información sobre la curvatura de $(M, g)$. En el caso que $n=dim M =2$, $a_1 = \frac{1}{6}\int_M \tau_g \cdot V_g= 2\pi \chi (M)$ (F´romula de Gauss-Bonnet). 
\item%
$a_2=\frac{1}{360}\int_M (2|R|-2|\rho|+5\tau^2) V_g$ [\ref{BGM}]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{thebibliography}{breitestes Label}
Berger-Gauduchon-Mazet p.215
\end{thebibliography}
\end{document}
