DEPARTAMENTO DE MATEMATICA - FCEyN - UBA

 

GEOMETRIA DIFERENCIAL



Segundo Cuatrimestre 2002

 

Programa

 

1. Teorema de la función implícita. Aplicaciones. Variedades topológicas. Cartas y atlas diferenciables de una variedad topológica. Estructuras diferenciables. Variedades diferenciables. Subvariedades de Rn. Caracterizaciones. Criterio prático para la construcción de variedades diferenciables. Ejemplos.
2. Funciones diferenciables. Curvas en variedades diferenciables. Vector tangente y espacio tangente a una subvariedad en Rn. Vector tangente y espacio tangente a una variedad diferenciable.
3. Diferencial de una función diferenciable. Vector tangente a una curva. Vinculación entre el espacio tangente a una subvariedad de Rn y el que tiene como variedad diferenciable. Parametrizaciones de una subvariedad de Rn. Inmersiones y sumersiones. Propiedades y ejemplos. Subvariedades inmersas y sumergidas. Cartas adaptadas. Valores regulares y críticos de una función diferenciable. Propiedades. Grupos de Lie. Ejemplos.
4. Fibrado tangente. Campos de vectores. Ejemplos. Curvas integrales, existencia y unicidad. Flujo local de un campo de vectores. Completitud. Criterio para extender curvas integrales. Propiedades del flujo maximal. Grupo uniparamétrico de difeomorfismos.
5. Derivaciones y corchete de Lie. Propiedades. Derivada de Lie. Teorema de Frobenius. Fibrado cotangente y 1-formas diferenciables.
6. Tensores y k-formas diferenciables. Representación local. Producto tensorial y producto exterior. Tensores diferenciables interpretados como aplicaciones F(M)-multilineales. Diferencial exterior. Propiedades.
7. Partición de la unidad. Variedades orientables. Propiedades. Integración en variedades orientables. Variedades con borde. Teorema de Stokes.
8. Conexiones. Derivación covariante. Tensores de curvatura y de torsión. Derivación covariante de tensores. La función de conexión asociada. Derivación covariante de campos de vectores a lo largo de aplicaciones. Derivación covariante a lo largo de curvas. Traslación paralela. Geodésicas de una conexión. Conexión completa. El spray geodésico. Vinculación entre las curvas integrales del spray. El flujo geodésico y la función exponencial. Variedades de Riemann. Métricas de Riemann. Elemento de volumen. Subvariedades Riemannianas. Conexión Riemanniana y de Levi-Civita. Curvatura seccional. Inmersiones isométricas. Segundo tensor fundamental de una inmersión isométrica. Ecuaciones de Gauss, curvatura de Gauss y la aplicación de Gauss.

 

BIBLIOGRAFIA

 

[1]
Do Carmo, M., Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston, 1992.

[2]
Gray, A., Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. CRC Press, Florida, 2nd. Ed., 1998.

[3]
Gromoll, D. ; Klingenberg, W. ; Meyer, W. , Riemannsche Geometrie im Groβen. Springer-Verlag, Berlin, 1968.

[4]
Hicks, N.J., Notes on Differential Geometry. C. Van Nostrand, Princeton, New Jersey, 1964.

[5]
Keilhauer, G., Geometría Diferencial I. Cursos y Seminarios de Matemática, Fascículo 38, 1995.

[6]
O'Neill, B., Semi-Riemannian Geometry. Academic Press, New York, 1983.

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