Laboratorios de Maple Geometr\355a Diferencial MATE2410Prof. Jos\351 Ricardo ARTEAGA BEJARANO Lab3: Superficies M\355mimasPor <Coloque aqu\355 su nombre>

Usar Maple para afianzar algunos conocimientos y comprobar algunos resultados demostrados en clase em ejemplos concretos. Usaremos el poder\355o computacional para hacer c\341lculos engorrosos.

Esta parte la necesita correr para cargar las subrutinas o procedimientos que se usar\341n en la segunda parte.

restart: with(plots): with(LinearAlgebra):EFG:=proc(X) local Xu,Xv,E,F,G; Xu:=<diff(X[1],u),diff(X[2],u),diff(X[3],u)>; Xv:=<diff(X[1],v),diff(X[2],v),diff(X[3],v)>; E:=DotProduct(Xu,Xu,conjugate=false); F:=DotProduct(Xu,Xv,conjugate=false); G:=DotProduct(Xv,Xv,conjugate=false); simplify([E,F,G]); end:

UN:=proc(X) local Xu,Xv,Z,s; Xu:=<diff(X[1],u),diff(X[2],u),diff(X[3],u)>; Xv:=<diff(X[1],v),diff(X[2],v),diff(X[3],v)>; Z:=CrossProduct(Xu,Xv); s:=VectorNorm(Z,Euclidean,conjugate=false); simplify(<Z[1]/s|Z[2]/s|Z[3]/s>,sqrt,trig,simbolic); end:lmn:=proc(X) local Xu,Xv,Xuu,Xuv,Xvv,U,l,m,n; Xu:=<diff(X[1],u),diff(X[2],u),diff(X[3],u)>; Xv:=<diff(X[1],v),diff(X[2],v),diff(X[3],v)>; Xuu:=<diff(Xu[1],u),diff(Xu[2],u),diff(Xu[3],u)>; Xuv:=<diff(Xu[1],v),diff(Xu[2],v),diff(Xu[3],v)>; Xvv:=<diff(Xv[1],v),diff(Xv[2],v),diff(Xv[3],v)>; U:=UN(X); l:=DotProduct(U,Xuu,conjugate=false); m:=DotProduct(U,Xuv,conjugate=false); n:=DotProduct(U,Xvv,conjugate=false); simplify([l,m,n],sqrt,trig,symbolic); end:

shape:=proc(X) local Y,Z,a,b,c,d; Y:=EFG(X); Z:=lmn(X); a:=simplify((Z[1]*Y[3]-Z[2]*Y[2])/(Y[1]*Y[3]-Y[2]^2)); b:=simplify((Z[2]*Y[1]-Z[1]*Y[2])/(Y[1]*Y[3]-Y[2]^2)); c:=simplify((Z[2]*Y[3]-Z[3]*Y[2])/(Y[1]*Y[3]-Y[2]^2)); d:=simplify((Z[3]*Y[1]-Z[2]*Y[2])/(Y[1]*Y[3]-Y[2]^2)); [S(x_u)=a*x_u+b*x_v,S(x_v)=c*x_u+d*x_v]; end:shape_matrix:=proc(X) local Y,Z,a,b,c,d; Y:=EFG(X); Z:=lmn(X); a:=simplify((Z[1]*Y[3]-Z[2]*Y[2])/(Y[1]*Y[3]-Y[2]^2)); b:=simplify((Z[2]*Y[1]-Z[1]*Y[2])/(Y[1]*Y[3]-Y[2]^2)); c:=simplify((Z[2]*Y[3]-Z[3]*Y[2])/(Y[1]*Y[3]-Y[2]^2)); d:=simplify((Z[3]*Y[1]-Z[2]*Y[2])/(Y[1]*Y[3]-Y[2]^2)); Matrix([[a,c],[c,d]]); end:

MK:=proc(X) local E,F,G,l,m,n,S,T; S:=EFG(X); T:=lmn(X); E:=S[1]; F:=S[2]; G:=S[3]; l:=T[1]; m:=T[2]; n:=T[3]; simplify((G*l+E*n-2*F*m)/(2*E*G-2*F^2),sqrt,trig,symbolic); end:GK:=proc(X) local E,F,G,l,m,n,S,T; S:=EFG(X); T:=lmn(X); E:=S[1]; F:=S[2]; G:=S[3]; l:=T[1]; m:=T[2]; n:=T[3]; simplify((l*n-m^2)/(E*G-F^2),sqrt,trig,symbolic); end:

Hallaremos la expresi\363n que caracteriza las superficies m\355nimas con parametrizaci\363n tipo Monge, conocida tambi\351n como ecuaci\363n de superficies m\355nimas. Luego trataremos el caso de superficies m\355nimas de revoluci\363n deduciendo la ecuaci\363n diferencial que las caracteriza, para resolver dicha ecuaci\363n y comprobar resultados en clase vistos. Forzaremos Maple para que de resultados tal cual los obtenemos a mano.

f:=(u,v)->f(u,v);monge:=<u|v|f>;MK(monge);factor(numer(MK(monge)))=0;

h:=t->h(t);surfrev:=<u|h(u)*cos(v)|h(u)*sin(v)>;mean:=MK(surfrev);numer(mean)=0;dsolve(numer(mean)=0,h(u));sol1:=dsolve(numer(mean)=0,h(u))[1];ans:=simplify(solve(sol1,h(u)));realans:=combine(convert(ans,trig),trig);func:=subs({_C1=1,_C2=0},realans);

Del punto anterior tomamos una de las dos soluciones y la simplificamos para comprobar que una soluci\363n es la Catenaria que genera el Catenoide. Tome la soluci\363n 2 del punto anterior y ll\351vela a una expresi\363n simple.

helicoide:=<u*cos(v)|u*sin(v)|v>;plot3d(helicoide,u=-2..2,v=-2..2,title=`Helicoide`);K=GK(helicoide);H=MK(helicoide);

catenoide:=<u|cosh(u)*cos(v)|cosh(u)*sin(v)>;plot3d(catenoide,u=-2..2,v=0..2*Pi,title=`Catenoide`);K=GK(catenoide);H=MK(catenoide);

enneper:=<u-(1/3)*u^3+u*v^2|v-(1/3)*v^3+v*u^2|u^2-v^2>;plot3d(enneper,u=-2..2,v=-2..2,title=`Enneper`);K=GK(enneper);H=MK(enneper);

scherk:=<u|v|ln((cos(u))/(cos(v)))>; a:=1.7:plot3d(scherk,u=-a..a,v=-a..a,title=`Scherk`);K=GK(scherk);H=MK(scherk);

riemann:=<u|v|ln((cos(u))/(cos(v)))>; a:=2:plot3d(riemann,u=-a..a,v=-a..a,title=`Riemann`);K=GK(riemann);H=MK(riemann);

schwarzs:=<u|v|ln((cos(u))/(cos(v)))>; a:=2:plot3d(schwarzs,u=-a..a,v=-a..a,title=`Schwarz`);K=GK(schwarz);H=MK(schwarz);

catalan:=<u-sin(u)*cosh(v)|1-cos(u)*cosh(v)|4*sin(u/2)*sinh(v/2)>; a:=2:plot3d(catalan,u=-a..a,v=-a..a,title=`Catalan`);K=simplify(GK(catalan),trig);H=simplify(MK(catalan),trig);

The real and imaginary parts of an analytic function are harmonic functions.f:=(x,y)->(x+I*y)^2;plot3d(Re(f(x,y)),x=-3..3,y=-3..3,axes=framed,shading=zhue);plot3d(Im(f(x,y)),x=-3..3,y=-3..3,axes=framed,shading=zhue);f:=(x,y)->(x+I*y)^5;plot3d(Re(f(x,y)),x=-3..3,y=-3..3,axes=framed,shading=zhue,numpoints=1500);plot3d(Im(f(x,y)),x=-4..4,y=-4..4,axes=framed,shading=zhue,numpoints=1500);f:=(x,y)->3*(x+I*y)^7-2*(x+I*y)^4;plot3d(Im(f(x,y)),x=-2..2,y=-2..2,axes=framed,shading=zhue,view=-1000..1500);f:=(x,y)->exp(-(x+I*y)^2)/((x+I*y)^2)+(x+I*y)^4;plot3d(Im(f(x,y)),x=-2..2,y=-2..2,axes=framed,shading=zhue,view=-24..29,numpoints=2000);plot3d(Re(f(x,y)),x=-2..2,y=-2..2,axes=framed,shading=zhue,view=-26..16,numpoints=2000);