Geometría y Teoría de Representaciones
Segundo Semestre de 2019
Durante el segundo semestre de 2019 el Seminario de Análisis Geométrico abordará los siguientes temas, todos ellos relacionados con métodos algebraicos y analíticos para el cálculo de invariantes en espacios homogéneos:
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El método de las órbitas (de Kirillov) en teoría de representaciones.
[Referencia: Kirillov, A. A. Lectures on the orbit method. Graduate Studies in Mathematics, 64. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.]
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Cohomología equivariante y fórmulas de punto fijo.
[Referencia: Tu, L. W. Computing topological invariants using fixed points. Adv. Lect. Math., 37, pp. 285–298, Int. Press, Somerville, MA, 2017.]
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Operadores pseudo-diferenciales sobre espacios homogéneos.
[Referencia: Ruzhansky, M. and Turunen, V. Pseudo-differential operators and symmetries. Birkhäuser Verlag, Basel, 2010.]
El seminario tiene lugar los viernes de 3:30 a 5:00 p.m. en el salón G-102. ó
n geométrica y la fiandes)
Agosto 16. Introducción. Alexander Cardona (Universidad de los Andes)
Resumen: Reunión preliminar en la sala Z-205.
Agosto 23. Representaciones del grupo ortogonal y la característica de Euler de la esfera I. Santiago Gómez Cobos (Universidad de los Andes)
Resumen: El objetivo de esta charla es ilustrar el uso del análisis armónico en espacios homogéneos, basado en la teoría de las representaciones de los grupos de Lie compactos, para encontrar invariantes topológicos de este tipo de espacios. Específicamente, se tratará del caso de las esferas n dimensionales, que pueden verse como espacios homogéneos mediante el cociente de los grupos ortogonales especiales SO(n+1)/SO(n), y se presentan cálculos explícitos de su característica de Euler usando estos métodos.
Agosto 30. Representaciones del grupo ortogonal y la característica de Euler de la esfera II. Santiago Gómez Cobos (Universidad de los Andes)
Resumen: El objetivo de esta charla es ilustrar el uso del análisis armónico en espacios homogéneos, basado en la teoría de las representaciones de los grupos de Lie compactos, para encontrar invariantes topológicos de este tipo de espacios. Específicamente, se tratará del caso de las esferas n dimensionales, que pueden verse como espacios homogéneos mediante el cociente de los grupos ortogonales especiales SO(n+1)/SO(n), y se presentan cálculos explícitos de su característica de Euler usando estos métodos.
Septiembre 6. El método de las órbitas en teoría de representaciones I. Alexander Cardona (Universidad de los Andes)
Resumen: En esta charla se ilustrará el uso de estructuras simplécticas integrales para encontrar representaciones de álgebras de Poisson.
Septiembre 13. El método de las órbitas en teoría de representaciones II. Alexander Cardona (Universidad de los Andes)
Resumen: En esta charla se presentará el uso de la geometría simpléctica de orbitas coadjuntas en el dual de un álgebra de Lie para construir representaciones irreducibles de un grupo de Lie.
Septiembre 20. De haces de línea a gerbes. Juan Sebastian Numpaque (Universidad de los Andes)
Resumen: Un gerbe es una representación geométrica de una clase entera en (co-)homología en grado tres para una variedad, así como un haz de línea lo es para una clase entera en grado dos. En esta charla se dará una construcción local de gerbes trivializados sobre variedades compactas y se abordará el caso de un grupo de líe compacto y conexo, donde estos objetos existen naturalmente.
Septiembre 27. Una primera aproximación a la cuantización geométrica superior: grupoides simplécticos y gerbes. Daniel Felipe Bermudez (Universidad de los Andes)
Resumen: En esta charla se presentará el método de cuantizacion geométrica para variedades de Poisson mediante el uso de grupoides simplécticos. Más aún, se realizará una primera aproximación a la relación entre cuantizacion y la geometría de Stacks, Gerbes y Grupoides.
Octubre 4. Receso.
Octubre 11. El Teorema de Borel-Weil I. Juan Diego Rojas (Universidad de los Andes)
Resumen: Para un grupo de Lie complejo y semisimple G, la teoría de pesos maximales describe completamentelas representaciones irreducibles de G salvo isomorfismo, pero no las construye explícitamente. El Teoremade Borel-Weil produce precisamente estas representaciones irreducibles para cada peso maximal como un espacio de secciones holomorfas de un haz de línea L construido de forma natural sobre la variedad bandera G/B, donde B es un subgrupo de Borel de G. En esta charla se considerará el ejemplo explícito de SL(n; C) y, si el tiempo lo permite, se abordará la extensión del teorema introducida por R. Bott.
Octubre 18. El Teorema de Borel-Weil II. Juan Diego Rojas (Universidad de los Andes)
Resumen: Para un grupo de Lie complejo y semisimple G, la teoría de pesos maximales describe completamentelas representaciones irreducibles de G salvo isomorfismo, pero no las construye explícitamente. El Teoremade Borel-Weil produce precisamente estas representaciones irreducibles para cada peso maximal como un espacio de secciones holomorfas de un haz de línea L construido de forma natural sobre la variedad bandera G/B, donde B es un subgrupo de Borel de G. En esta charla se considerará el ejemplo explícito de SL(n; C) y, si el tiempo lo permite, se abordará la extensión del teorema introducida por R. Bott.
Octubre 25. El Teorema de Borel-Weil III. Juan Diego Rojas (Universidad de los Andes)
Resumen: Para un grupo de Lie complejo y semisimple G, la teoría de pesos maximales describe completamentelas representaciones irreducibles de G salvo isomorfismo, pero no las construye explícitamente. El Teoremade Borel-Weil produce precisamente estas representaciones irreducibles para cada peso maximal como un espacio de secciones holomorfas de un haz de línea L construido de forma natural sobre la variedad bandera G/B, donde B es un subgrupo de Borel de G. En esta charla se considerará el ejemplo explícito de SL(n; C) y, si el tiempo lo permite, se abordará la extensión del teorema introducida por R. Bott.
Noviembre 1. Localización y cohomología equivariante. Alexander Cardona (Universidad de los Andes)
Resumen: En esta charla se demostrará el teorema de localización en chomología equivariante y se estudiarán algunas de sus consecuencias en geometría simpléctica, en particular el teorema de Duistermaat-Heckman y algunas de sus aplicaciones.
Noviembre 8. Localización y fórmulas de multiplicidades para representaciones de grupos compactos. Alexander Cardona (Universidad de los Andes)
Resumen: En esta charla se usará el teorema de localización en chomología equivariante para el cálculo de volúmenes de órbotas y multiplicidades de representaciones de grupos de Lie compactos.
Noviembre 15. Índice de Maslov y la topología de la variedad de Grassmann-Lagrange. Juan José Villamarín (Universidad de los Andes)
Resumen: El índice de Maslov es un semi-entero que permite caracterizar curvas de simplectomorfismos (curvas de invariantes simplécticos en un espacio vectorial V) y curvas de subespacios Lagrangianos en V. En esta charla se describirá la topología de la variedad de subespacios Lagrangianos en un espacio vectorial simpléctico, se definirá el índice de Maslov y se presentarán algunos ejemplos.
Noviembre 27. El grupo cuántico U(slq(2)) y sus representaciones. Héctor Giovanny Mora (Universidad de los Andes)
Resumen: En esta charla se presentarán la definición y teoría de representaciones de algunos ejemplos de grupos cuánticos, es decir álgebras de Hopf definidas por relaciones algebraicas entre generadores que son deformaciones paramétricas de álgebras (y grupos) de Lie clásicos.
