Durante el segundo semestre de 2010 el Seminario de Geometría estará dedicado paralelamente a la discusión de temas de investigación -en geometría, topología y análisis geométrico- de miembros del grupo de geometría y al estudio de la teoría algebraica de deformaciones de estructuras geométricas.
Las referencias básicas que seguiremos en Teoría de Deformación son las siguientes:
Deformation Theory by Maxim Kontsevich and Yan Soibelman.
Deformations of complex manifolds by Marco Manetti.
Déformation, Quantification, Théorie de Lie by Alberto Cattaneo, Bernhard Keller, Charles Torossian and Alain Bruguières.
Panoramas et Synthèses 20, Société Mathématique de France, 2006.
El seminario tiene lugar los martes de 4:00 a 5:30 de la tarde, en el salón C-101.
Próximas charlas:antización geométrica y la fase de Berry. r Cardona (Departamento de Matemáticas, Uniandes)
Agosto 17. Simetrías de formas de de Rham cerradas y su relación con cohomología equivariante.
Bernardo Uribe (Departamento de Matemáticas, Uniandes)
Resumen: Una forma diferencial cerrada sobre sobre variedad diferenciable se puede ver como como cierta conexión plana en un fibrado sobre la variedad con fibra R[n]; esto en la categoría de variedades diferenciales graduadas. Usaré esta descripción de las formas cerradas para obtener el álgebra diferencial graduada de Lie de sus simetrías y explicaré cómo se puede usar dicha ADGL para definir la acción de un grupo de Lie en el fibrado incial. La cohomología equivariante nos clasificará las posibles acciones de un grupo de Lie en dicho firbado.
Agosto 24. Deformations of complex structures.
Mikhail Malakhaltsev (Kazan State University / Uniandes)
Abstract: The main goal of the talk is to explain the section "2.3 Deformations of complex structures" of the book " Deformation Theory. I" by M. Kontsevich and Y. Soibelman. To do this we give a review of basic notions of the deformation theory of complex structures, and show how the space of infinitesimal deformations of complex structure relates to the Dolbeaux cohomology, to the sheaf cohomology, and to deformations of a Lie algebra structure.
Agosto 31. Trazas asociadas a deformaciones algebraicas de estructuras simplécticas.
Alexander Cardona (Departamento de Matemáticas, Uniandes)
Septiembre 7. Deformation of algebraic structures.
Erik Backelin (Departamento de Matemáticas, Uniandes)
Septiembre 14. Módulos de fibrados reales y cuaterniónicos sobre una curva.
Florent Schaffhauser (Departamento de Matemáticas, Uniandes)
Resumen: Estudiamos un problema de módulos para fibrados reales y cuaterniónicos sobre una curva proyectiva compleja suave y damos una construcción de tipo teoría de calibración (gauge theory) de variedades de módulos para estos fibrados. Estas variedades de módulos son subconjuntos irreducibles de puntos reales en una variedad proyectiva compleja. Relacionamos nuestro punto de vista con el trabajo de Biswas, Hurtubise y Huisman y utilizamos eso para estudiar la acción de Gal(C/R) sobre variedades de módulos de fibrados holomorfos semiestables sobre una curva compleja con estructura real. Demostramos en particular un teorema de tipo Harnack sobre el número de componentes conexos del conjunto de puntos fijos de dicha acción, mostrando que es acotado por 2^g + 1 donde g es el género de la curva. También demostramos que dos componentes cualesquiera de este conjunto de puntos fijos son homeomorfos.
Septiembre 21. Deformations of G-structures. (Resumen en formato PDF)
Mikhail Malakhaltsev (Kazan State University / Uniandes)
Septiembre 28. Receso.
Octubre 5. Variaciones de Métricas y Espinores.
Andrés Vargas (Departamento de Matemáticas, Uniandes)
Resumen: Dado que el producto de Clifford y la conexión espinorial dependen de la métrica sobre una variedad Riemanniana, se trata de explicar cómo se identifican espinores al cambiar la métrica y las consecuencias básicas para objetos espinoriales como el operador de Dirac y los espinores de Killing (que están asociados a métricas de Einstein y al mínimo valor propio del operador de Dirac), etc. También mencionaré algunos resultados relacionados con convergencia en variedades Riemannianas (con geometría acotada).
Octubre 12. Deformation theory via DGLA's.
Marco Boggi (Departamento de Matemáticas, Uniandes)
Resumen: En esta primera charla vamos a introducir el concepto de Álgebra de Lie graduada diferencial y su asociado functor de deformaciones.
Octubre 19. Differential complex
associated to differential forms of nonconstant rank.
Mikhail Malakhaltsev (Kazan State University / Uniandes)
Noviembre 2. Deformation of symplectic and Poisson structures.
Alexander Cardona (Departamento de Matemáticas, Uniandes)
Resumen: En esta charla se explicarán las ideas básicas que dieron lugar a la prueba del teorema de formalidad de Kontsevich que prueba que toda variedad de Poisson es deformable (o "cuantizable" por deformación), en particular se construirá la integral de Kontsevich y se ilustrará su uso en la prueba local de tal teorema.
Noviembre 9. El grupoide de Deligne.
Bernardo Uribe (Departamento de Matemáticas, Uniandes)
Noviembre 16. Deformation theory via DGLA's II.
Marco Boggi (Departamento de Matemáticas, Uniandes)
Diciembre 3. Móduli de haces a partir de móduli de módulos de Kronecker.
José Ricardo Arteaga (Departamento de Matemáticas, Uniandes)
Resumen: Se explicará cómo ver la construcción de los espacios de móduli de haces coherentes semiestables sobre una variedad proyectiva como una inmersión functorial en variedades proyectivas más básicas: los espacios de móduli de módulos de Kronecker semiestables. Esta construcción ayuda a entender cómo construir 'funciones theta', es decir, coordenadas proyectivas naturales en estos espacios de móduli. Trabajo en colaboración con Alastair King, publicado en 2007 y 2009.
